Matematyka
magdamur
2017-06-26 11:37:15
Obliczyć całke [latex]int frac{dx}{(x^2 +2)(x+1)} [/latex] rozłożyłem na ułamki proste,obliczylem calki ale wynik wychodzi inny niz ktory pokazuje kalkulator całek ;/
Odpowiedź
bartolomeo29
2017-06-26 13:33:27

[latex]frac{1}{(x^2+2)(x+1)}=frac{ax+b}{x^2+2} + frac{c}{x+1}= frac{(ax+b)(x+1)}{(x^2+2)(x+1)}+ frac{c(x^2+2)}{(x^2+2)(x+1)}= \ \ frac{ax^2+ax+bx+b+cx^2+2c}{(x^2+1)(x+1)} = frac{(a+c)x^2 + (a+b)x+b+2c}{(x^2+1)(x+1)}[/latex] stąd [latex]a+c=0 land a+b=0 land b+2c=1 \ c=-a land b=-a land b+2c=1 \ Downarrow \ b+2c=1 \ -a-2a=1 \ -3a=1 \ a=-frac{1}{3} \ \ b=frac{1}{3}, c =frac{1}{3}[/latex] Stąd mamy całkę: [latex]int frac{dx}{(x^2+2)(x+1)} = int (frac{-frac{1}{3}x+frac{1}{3}}{x^2+2} + frac{frac{1}{3}}{x+1}) dx = -frac{1}{3}int frac{x-1}{x^2+2}dx + frac{1}{3} int frac{dx}{x+1}[/latex] Pierwsza całka: [latex]-frac{1}{3}int frac{x-1}{x^2+2}dx = -frac{1}{3} int frac{frac{1}{2}(2x-2)}{x^2+2} dx = -frac{1}{3} cdot frac{1}{2} int frac{2x-2}{x^2+2} dx=\ \ -frac{1}{6} int (frac{2x}{x^2+2} - frac{2}{x^2+2}) dx = - frac{1}{6} int frac{2x}{x^2+2}dx + frac{1}{6} int frac{2}{x^2+2} dx = \ \ -frac{1}{6} int frac{2x}{x^2+2}dx + frac{1}{3} int frac{dx}{x^2+2}[/latex] Stąd w całości mamy*: [latex] =- frac{1}{6} int frac{2x}{x^2+2} dx + frac{1}{3} int frac{dx}{x^2+2} + frac{1}{3} int frac{dx}{x+1}= \ \ oxed{-frac{1}{6} ln |x^2+2| + frac{sqrt{2}}{6} arctan frac{xsqrt{2}}{2} + frac{1}{3} ln |x+1| + c}[/latex] co zgadza się z wynikiem podawanym przez wolfram ··· *poszczególne całki jakbyś nie wiedział jak je wyliczyć: a) [latex]- frac{1}{6} int frac{2x}{x^2+2} dx = Bigg| egin{array}{rcl} t=x^2+2 \ frac{dt}{dx}=2x \ dt=2xdx end{array} Bigg| = -frac{1}{6} int frac{dt}{t} = -frac{1}{6} ln |t| + c_1= \ \ -frac{1}{6} ln |x^2+2| +c_1[/latex] b) [latex]frac{1}{3} int frac{dx}{x^2+2}= frac{1}{3} int frac{dx}{x^2+ (sqrt{2})^2} = frac{1}{3} cdot frac{1}{sqrt{2}} arctan frac{x}{sqrt{2}} + c_2 = \ \ frac{1}{3} cdot frac{sqrt{2}}{2} arctan frac{xsqrt{2}}{2} + c_2= frac{sqrt{2}}{6} arctan frac{xsqrt{2}}{2} + c_2[/latex] c) [latex]frac{1}{3} int frac{dx}{x+1} = Bigg| egin{array}{rcl} t=x+1 \ frac{dt}{dx}=1 \ dt=dx end{array} Bigg| = frac{1}{3} int frac{dt}{t} = frac{1}{3} ln |t| + c_3= frac{1}{3} |x+1| + c_3[/latex] Użyte wzory: [latex]int frac{dx}{x} = ln |x| + c \ \ int frac{dx}{x^2+a^2} = frac{1}{a} arctan frac{x}{a} + c[/latex] ···

Dodaj swoją odpowiedź