Matematyka
Madziś122
2017-06-21 19:26:25
Przedstaw liczbę zespoloną z = ( -1 + i )¹⁰ w postaci a + bi, gdzie a,b ∈R
Odpowiedź
Pol212
2017-06-22 01:33:49

[latex]z^n=(|z|(cos varphi+icdot sin varphi))^n=|z|^n(cos (nvarphi)+icdot sin (nvarphi))[/latex] Czyli: [latex]z^{10}=(|z|(cos phi+icdot sin phi))^{10}=|z|^{10}(cos (10phi)+icdot sin (10phi))\z=-1+i=a+biRightarrow a=-1~vee~b=1\|z|=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{(-1)^2+1^2}=sqrt{2}[/latex] Kąt Ф: [latex]cosphi=frac{a}{|z|}=frac{-1}{sqrt{2}}=-frac{sqrt{2}}{2}\sinphi=frac{b}{|z|}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2}\left{{{cosphi=-frac{sqrt{2}}{2}}atop{sinphi=frac{sqrt{2}}{2}}}} ightRightarrowphi=frac{3}{4}pi[/latex] Podstawiając do wzoru: [latex]z^{10}=|z|^{10}(cos (10*frac{3}{4}pi)+icdot sin (10*frac{3}{4}pi))=\=(sqrt2)^{10}(cos(frac{30}{4}pi)+icdot sin(frac{30}{4}pi))=(({2})^{frac{1}{2}})^{10}(cos(frac{15}{2}pi)+icdot sin(frac{15}{2}pi))=\=2^5(cos(frac{3}{2}pi)+icdot sin(frac{3}{2}pi))=32(0+icdot (-1))=32cdot(-i)=-32i[/latex] Kąt Ф na rysunku odpowiada kąt β. W razie wątpliwości, pisz:)

pinka166
2017-06-22 01:35:04

Rozwiązanie za pomocą postaci trygonometrycznej oczywiście jak najbardziej poprawne, ale innym sposobem obliczenia wartości liczby z jest: [latex]z=(-1+i)^{10}=[(i-1)^2]^5=(i^2-2i+1)^5=[/latex] [latex]=(-1-2i+1)^5=(-2i)^5=(-2)^5cdot{i}^5=-32cdot{i}^2cdot{i}^2cdot{i}=[/latex] [latex]=-32cdot(-1)cdot(-1)cdot{i}=-32i[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź