Matematyka
ewcia190294
2017-06-23 16:32:25
Uzasadnij ze dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierownosc 4x +1/x> 4 Jak to zrobic ?
Odpowiedź
supermenka000
2017-06-23 20:14:34

Najprościej wykorzystać nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną dla liczb 4x i 1/x, dostajemy: [latex]frac{4x+frac{1}{x}}{2} ge sqrt{4xcdotfrac{1}{x}}[/latex] mnożymy stronami przez 2: [latex]4x+frac{1}{x} ge 2sqrt{4xcdotfrac{1}{x}}=2cdot 2 = 4[/latex] Można też pomnożyć stronami przez [latex]x>0[/latex] czyli bez zmiany znaku i doprowadzić do postaci, w której nierówność będzie oczywista, dostaniemy: [latex]4x^2+1ge 4x[/latex] [latex]4x^2-4x+1ge 0[/latex] [latex](2x-1)^2ge 0[/latex] Tam powinien być znak większy lub równy zamiast większy, bo równość też może zajść i zachodzi dla x=1/2

Dodaj swoją odpowiedź