Matematyka
kinqcount
2017-06-23 19:16:25
Wyznacz te wartości parametru m (m ∈ R), dla których równanie [latex](x^3+2x-3)[x^2+(m+1)x+4]=0[/latex] ma cztery różne rozwiązania. Dałem warunki: Δ>0 oraz x₁≠1 i x₂≠-3 wyliczyłem deltę oraz deltę m i z miejsc zerowych wyszedł mi przedział [latex](-infty ; -5) [/latex] ∪ [latex](3 ; +infty)[/latex] Dalej nie wiem co robić, jakieś wzory viete`a?
Odpowiedź
porzeczka29
2017-06-23 22:21:48

[latex]x^3+2x-3=0[/latex] [latex]x^2(x-1)+x(x-1)+3(x-1)=0[/latex] [latex](x-1)(x^2+x+3)=0[/latex] [latex]x=1[/latex] Jedynym rozwiązaniem równania [latex]x^3+2x-3=0[/latex] jest liczba 1. Zatem aby dane równanie miało cztery różne pierwiastki, równanie [latex]x^2+(m+1)x+4=0[/latex] musiałoby mieć trzy różne rozwiązania. Jest to nie możliwe, ponieważ jest to równanie kwadratowe. Równanie kwadratowe ma co najwyżej dwa rozwiązania. Wynika stąd, że nie istnieje takie m rzeczywiste, dla którego dane równanie ma cztery różne rozwiązania. Jeżeli równanie ma postać: [latex](x^2+2x-3)(x^2+(m+1)x+4)=0[/latex] to [latex]x^2+2x-3=0[/latex] [latex]x(x-1)+3(x-1)=0[/latex] [latex](x-1)(x+3)=0[/latex] Zatem równanie w pierwszym nawiasie ma dwa różne rozwiązania. Wynika stąd, że równanie w drugim nawiasie również musi mieć dwa różne rozwiązania i muszą one dodatkowo być różne od 1 i od -3. Liczba 1 jest rozwiązaniem drugiego równania dla  [latex]1+(m+1)+4=0[/latex] [latex]m+6=0[/latex] [latex]m=-6[/latex] Liczba -3 jest rozwiązaniem drugiego równania dla [latex]9-3(m+1)+4=0[/latex] [latex]-3m+10=0[/latex] [latex]m=cfrac{10}{3}[/latex] Zatem wynika stąd, że m nie może być równe -6 i nie może być równe 10/3. Równanie w drugim nawiasie będzie miało dwa różne rozwiązania, gdy [latex]Delta > 0[/latex] [latex](m+1)^2-16>0[/latex] [latex](m+1-4)(m+1+4)>0[/latex] [latex](m-3)(m+5)>0[/latex] [latex]min(-infty,-5)cup(3,+infty)[/latex] Ze zbioru tego należy wyrzucić te liczby, które nie mogą być wartością m. Zatem ostatecznie [latex]min(-infty,-6)cup(-6,-5)cupleft(3,cfrac{10}{3} ight)cupleft(cfrac{10}{3},+infty ight)[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź