Matematyka
paeonia
2017-06-24 09:51:05
Udowodnij nierówność: [latex]x^2+y^2+1 extgreater x sqrt{y^2+1}+y sqrt{x^2+1} [/latex]
Odpowiedź
biniara
2017-06-24 12:57:12

Fajne.  1.  [latex]$ x^2+y^2+1=frac{x^2+y^2+1}{2}+frac{x^2+y^2+1}{2} $[/latex] 2. Więc nierówność można zapisać tak   [latex]$frac{x^2+y^2+1}{2}-x sqrt{y^2+1}+frac{x^2+y^2+1}{2}-ysqrt{x^2+1} extgreater 0$[/latex] A to z kolei ładnie się zwija do sumy kwadratów.  [latex]$left( frac{x}{ sqrt{2} } - frac{ sqrt{y^2+1} }{ sqrt{2} } ight)^2+left( frac{y}{ sqrt{2} } - frac{ sqrt{x^2+1} }{ sqrt{2} } ight)^2 extgreater 0$[/latex] No i wypadało by jeszcze uzasadnić czemu równość nie zajdzie...  Więc równość mogła by zajść gdy obydwa czynniki były by zerami co jest nie możliwe bo układ równań nie ma rozwiązań  [latex]$ left { x= sqrt{y^2+1} atop y= sqrt{x^2+1} } ight. $[/latex] Bo po podniesieniu stronami do kwadratu wynikało by z niego że [latex]x^2=x^2+1+1[/latex] czyli brak rozwiązań. Dlatego wolno napisać [latex] extgreater [/latex] zamiast [latex] geq [/latex]  

Dodaj swoją odpowiedź