Matematyka
Kaamilkax33
2017-06-24 15:25:55
Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite n o następującej własności: dla każdej pary liczb rzeczywistych dodatnich x,y zachodzi nierówność: xy^n< x^4 +y^4 Proszę o całe rozwiązanie :)
Odpowiedź
marcin0697
2017-06-24 21:38:54

Zaproponuje swoje nieudolne rozwiązanie polegające na szacowaniu asymptotycznym tego wyrażenia. Innego rozwiązanie bardziej wprost nie potrafie wymyślić.  zacznijmy od czegoś. Powiecmy że chcemy ustalić coś w rodzaju "stopnia"wielomiany wyrażania (wielomianu 2 zmiennych) po lewej i po prawej. Widać że "stopień" [latex] ext{st}(x^4+y^4)=4[/latex] jest stały a dla lewej strony [latex]$ ext{st}(xy^n)=n+1$[/latex] zależy od [latex]n[/latex]. Tu można by postawić hipotezę że żeby nierówność zaszła musi zajść [latex]4=n+1[/latex] (albo słabiej że żeby w ogóle miała szansę zajść) czyli równość stopni więc przypuszczalnie jedyną opcją jest [latex]n=3 [/latex]. To póki co na heurystyczne przypuszczenia a nie dowód ale sprawdźmy co się dzieje gdy jednak [latex]n=5[/latex] wtedy łatwo zauważyć że przyjmując "duże" [latex]y[/latex] z łatwością wykażemy fałszywość [latex]$xy^5 extless x^4+y^4$[/latex]. Wystarczy [latex]x=1[/latex] i [latex]y=10[/latex] wtedy nierówność nie zajdzie. Przyjęcie takich samych liczb pokazuje że nierówności nie zajdzie również dla każdego [latex]n geq 5[/latex]. A to już coś bo zostało do sprawdzenia już tylko [latex]1,2,3,4[/latex] Sprawdźmy następnie że z tego samego powodu nierówność nie zajdzie dla [latex]n=4[/latex]. Weźmy "duże" [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex] np [latex]x=y=10[/latex]. Wtedy dostaniemy sprzeczność bo [latex]10cdot10^4 extless 2cdot10^4[/latex] !  No to sprawdzamy [latex]n=2[/latex] teraz trzeba obrać odwrotną strategie i wybierać "małe" [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex] powiedzmy że [latex]$x=y= frac{1}{10} $[/latex] wtedy pokażemy sprzeczność bo [latex]$ frac{1}{10} cdot frac{1}{100} extless frac{2}{10000} $[/latex] jest oczywistą nieprawdą. Z tego samego powodu odpada [latex]n=1[/latex] wystarczy wybrać tak jak poprzednio [latex]$x=y= frac{1}{10} $[/latex] co dało by sprzeczność postaci [latex]$ frac{1}{100} extless frac{2}{10000} $[/latex] Wnioski jakie możemy wyciągnąć do tej pory to tylko że ta nierówność ma szanse być prawdziwa tylko dla [latex]n=3[/latex]. Więc sprawdźmy ostatecznie czy zachodzi    [latex]xy^3 extless x^4+y^4[/latex] Podzielmy stronami przez [latex]y^4[/latex] i podstawmy [latex]$t= frac{x}{y}$[/latex]. Oczywiście nie ujemność [latex]x,y[/latex] daje nam nie ujemność [latex]t[/latex] więc czy dla [latex]t extgreater 0[/latex] mamy że:    [latex]$ frac{x}{y} extless left( frac{x}{y} ight)^4+1$[/latex] [latex]t extless t^4+1[/latex] Rozważmy funkcje [latex]f(t)=t^4-t+1[/latex]. Pytanie o dodatniość [latex]f(t)[/latex] na przedziale [latex]tin(0,infty)[/latex] jest wtedy równoważne z nierównością do pokazania. Łatwo zauważyć że [latex]f(t)[/latex] ma minimum dla [latex]$t= sqrt[3]{ frac{1}{4} } $[/latex] wynika to z pochodnej i przebiegu znaku funkcji pochodnej. Więc prawdą jest że :   [latex]$t^4-t+1 geq fleft( sqrt[3]{frac{1}{4} } ight)= frac{3}{4 sqrt[3]{4}} extgreater 0 $[/latex] co kończy dowód.  Więc jedyną liczbą naturalną [latex]n[/latex] jest [latex]n=3[/latex] ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Trochę to przemyślałem, nie żeby coś było źle ale można to łatwiej powiedzieć. Weźmy [latex]y=x=10[/latex] i wtedy widać że dla [latex]n geq 4[/latex] nie działa bo  [latex]10cdot 10^n extless 2cdot 10^4[/latex] [latex]10^{n-3} extless 2[/latex] Co już nie jest prawdą dla [latex]n=4[/latex] a z faktu że [latex]10^{n-3}[/latex] jest rosnące tym bardziej odpada [latex]n=5[/latex] itd.   A cała reszta z [latex]n=1,2,3[/latex] zostaje jak była  

Dodaj swoją odpowiedź