Matematyka
shakalaka1920
2017-06-24 20:47:05
Wyznacz wartości parametrów a,b, dla których wykres funkcji f(x) ma tylko jedną asymptotę pionową o równaniu x=4 (x)=x2+x−6 / x2+ax+b
Odpowiedź
adison177
2017-06-25 02:26:04

[latex]f(x)=cfrac{x^2+x-6}{x^2+ax+b}[/latex] Aby wykres funkcji miał tylko jedną asymptotę pionową [latex]x=4[/latex], musi zachodzić warunek: [latex]limlimits_{x o4}f(x)=pminfty[/latex] oraz dla każdego [latex]t eq4[/latex] [latex]limlimits_{x o{t}}f(x)=c,qquad cinmathbb{R}[/latex] [latex]limlimits_{x o4}f(x)=limlimits_{x o4}cfrac{x^2+x-6}{x^2+ax+b}=cfrac{4^2+4-6}{4^2+4a+b}=cfrac{14}{4a+b+16}[/latex] Aby ta granica była równa [latex]pminfty[/latex] musi zachodzić [latex]4a+b+16=0[/latex] [latex]b=-4a-16[/latex] Zatem nasza funkcja musi być postaci: [latex]f(x)=cfrac{x^2+x-6}{x^2+ax-4a-16}=cfrac{x^2+x-6}{(x-4)(x+4)+a(x-4)}=cfrac{x^2+x-6}{(x-4)(x+4+a)}[/latex] Ta funkcja ma asymptotę pionową [latex]x=4[/latex] oraz [latex]x=-4-a[/latex] Z treści zadania wiemy, że nasza funkcja ma mieć tylko jedną asymptotę [latex]x=4[/latex]. Zatem [latex]-4-a=4[/latex] [latex]a=-8[/latex] [latex]b=-4a-16=32-16=16[/latex]

kuba1234567891
2017-06-25 02:27:19

To ja może tak trochę mniej ściśle i od lekko innej strony postaram się to opisać. Zauważ, że asymptota pionowa może się pojawić tylko w tych punktach, w których mianownik będzie równy zero. Jako że w mianowniku mamy trójmian kwadratowy, więc po rozłożeniu go na czynniki (albo, jak kto woli, po przekształceniu na postać iloczynową) dostaniemy wyrażenie postaci: [latex]f(x)=dfrac{x^2+x-6}{(x-x_1)(x-x_2)}[/latex] przy czym na razie nie wiemy ile wynoszą x₁ i x₂. Widzimy jednak, że asymptoty pionowe mogą być teoretycznie dwie. Ponieważ asymptotą ma być x = 4 więc przynajmniej jeden z nawiasów (czynników) w mianowniku musi się zerować dla czwórki a więc być postaci (x - 4). Teraz zostaje tylko wykombinować, jak pozbyć się drugiego nawiasu, żeby asymptota była tylko jedna. Mamy dwie możliwości: 1. Drugi czynnik w mianowniku będzie taki sam jak pierwszy. Wtedy dostaniemy teoretycznie dwie identyczne, pokrywające się asymptoty które możemy traktować jako jedną. Tak więc w tym przypadku będzie: [latex]f(x)=dfrac{x^2+x-6}{(x-4)(x-4)}=dfrac{x^2+x-6}{(x-4)^2}=dfrac{x^2+x-6}{x^2-8x+16}[/latex] I porównując to z postacią funkcji z polecenia dostajemy: [latex]a=-8\b=16[/latex] czyli wynik taki sam jak w tym drugim, bardziej ścisłym rozwiązaniu. 2. Drugi z nawiasów w mianowniku skróci się z czymś z licznika. Musimy więc sprawdzić z czym (jeśli w ogóle), mógłby się skrócić. Rozkładając licznik na czynniki dostaniemy: [latex]x^2+x-6\\Delta=1^2-4cdot1cdot(-6)=1+24=25\\sqrt{Delta}=sqrt{25}=5\\x_1=dfrac{-1-5}{2}=dfrac{-6}{2}=-3\\\x_2=dfrac{-1+5}{2}=dfrac{4}{2}=2\\\oxed{x^2+x-6=(x+3)(x-2)}[/latex] Tak więc mamy dwie możliwości skrócenia drugiego nawiasu z mianownika. Pierwszą jeśli będzie on równy (x+3) a drugą a dla (x-2). Wyznaczmy więc dla nich a i b. [latex]underline{(x+3)}\\ f(x)=dfrac{x^2+x-6}{(x-4)(x+3)}=dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-4x-12}=dfrac{x^2+x-6}{x^2-x-12}\\\a=-1quad\b=-12\-------------------------- \\underline{(x-2)}\\ f(x)=dfrac{x^2+x-6}{(x-4)(x-2)}=dfrac{x^2+x-6}{x^2-2x-4x+8}=dfrac{x^2+x-6}{x^2-6x+8}\\\a=-6quad\b=8[/latex] Zauważ, że jeśli teraz ktoś dostanie którąś z tych dwóch funkcji jakie przed chwilą wyliczyliśmy i będzie musiał wyznaczyć jej asymptoty pionowe, to pierwsze co zrobi, to rozłoży licznik i mianownik na czynniki, skróci co się da (a na pewno się da, bo w końcu tak je określiliśmy) i dostanie w mianowniku samo (x-4) a więc tylko jedną asymptotę pionową x = 4 o jaką nam chodziło. Czyli, jak widać, ostatecznie mamy trzy możliwe rozwiązania: [latex]a=-8qquad b=16\\a=-1qquad b=-12\\a=-6qquad b=8[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź